分析 (1)利用基本不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$(a>0,b>0)直接可求得最小值;
(2)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知,f(x)在(0,4)上是減函數(shù),要使不等式f(k-cosx)≥f(k2-cos2x)對任意x∈R恒成立,只要k-cosx≤k2-cos2x,即cos2x-cosx≤k2-k ①;設(shè)g(x)=cos2x-cosx,則g(x)的最大值為2.
解答 解:(1)當(dāng)a=1時,f(x)=2x+$\frac{1}{{2}^{x}}$≥2$\sqrt{{2}^{x}•\frac{1}{{2}^{x}}}$=2,
當(dāng)且僅當(dāng)${2}^{x}=\frac{1}{{2}^{x}}$,即x=0時取等號;
(2)當(dāng)k∈(1,2]時,0<k-cosx≤3,0<k2-cos2x≤4,
當(dāng)a=256時,f(x)=2x+256•2-x,
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知,f(x)在(0,4)上是減函數(shù),要使不等式f(k-cosx)≥f(k2-cos2x)對任意x∈R恒成立,只要k-cosx≤k2-cos2x,即cos2x-cosx≤k2-k ①
設(shè)g(x)=cos2x-cosx,則g(x)的最大值為2.
要使得①式成立,必須k2-k≥2,即k≥2或k≤-1
∴在區(qū)間(1,2]上存在k=2,使得原不等式對任意的x∈R恒成立.
點(diǎn)評 本題主要考查了基本不等式基礎(chǔ),函數(shù)的單調(diào)性綜合應(yīng)用等知識點(diǎn),屬中等題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 254 | B. | 255 | C. | 256 | D. | 512 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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A. | $({1,\frac{π}{4}})$ | B. | $({\sqrt{2},\frac{π}{4}})$ | C. | $({\sqrt{2},\frac{3π}{4}})$ | D. | $({\sqrt{2},-\frac{π}{4}})$ |
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