Question

18．設(shè)雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為e，直線x=$\frac{{a}^{2}}{c}$與兩條漸近線相交于P，Q兩點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，△FPQ為等邊三角形．
（1）求雙曲線C的離心率e的值；
（2）若雙曲線C被直線y=ax+b截得的弦長(zhǎng)為$\frac{^{2}{e}^{2}}{a}$，求雙曲線C的方程．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{a}^{2}}{c}}\\{y=\frac{a}x}\end{array}\right.$，解得：Q$（\frac{{a}^{2}}{c}，\frac{ab}{c}）$，同理可得：P$（\frac{{a}^{2}}{c}，-\frac{ab}{c}）$．利用等邊三角形與離心率計(jì)算公式即可得出．
（2）設(shè)雙曲線C被直線y=ax+b截得的弦的端點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與雙曲線方程聯(lián)立化為：（3-a²）x²-2$\sqrt{3}$a²x-6a²=0，利用|AB|=$\sqrt{（1+{a}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{^{2}{e}^{2}}{a}$=12a，解出a，進(jìn)而得出．

解答 解：（1）F（c，0）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{a}^{2}}{c}}\\{y=\frac{a}x}\end{array}\right.$，解得：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，y=$\frac{ab}{c}$，取Q$（\frac{{a}^{2}}{c}，\frac{ab}{c}）$，同理可得：P$（\frac{{a}^{2}}{c}，-\frac{ab}{c}）$．
∵△FPQ為等邊三角形，∴$c-\frac{{a}^{2}}{c}$=$\sqrt{3}$×$\frac{ab}{c}$，化為：$b=\sqrt{3}$a．
∴雙曲線C的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=2．
（2）設(shè)雙曲線C被直線y=ax+b截得的弦的端點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=ax+\sqrt{3}a}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{3{a}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化為：（3-a²）x²-2$\sqrt{3}$a²x-6a²=0，
△＞0，可得0＜a²＜6．
∴x₁+x₂=$\frac{2\sqrt{3}{a}^{2}}{3-{a}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{-6{a}^{2}}{3-{a}^{2}}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+{a}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（1+{a}^{2}）[\frac{12{a}^{4}}{（3-{a}^{2}）^{2}}+\frac{24{a}^{2}}{3-{a}^{2}}]}$=$\frac{^{2}{e}^{2}}{a}$=12a，
化為：13a⁴-77a²+102=0，
解得a²=2或$\frac{51}{13}$，
∴a²=2時(shí)，b²=6．
a²=$\frac{51}{13}$時(shí)，b²=$\frac{153}{13}$．
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{6}$=1，$\frac{{13x}^{2}}{51}$-$\frac{13{y}^{2}}{153}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與雙曲線相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．