Question

12．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且2S_n=a_n（a_n+1），數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為T_n，現(xiàn)有如下結(jié)論：
①a_n=n；
②$\frac{{T}_{2n-1}}{2n-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$；
③2T_2n-T_n≥3-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$；
④T_2n-T_n$≥\frac{1}{2}$
其中正確結(jié)論的序號(hào)為①③④（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

分析 2S_n=a_n（a_n+1），a_n＞0，n=1時(shí)，2a₁=a₁（a₁+1），解得a₁=1．n≥2時(shí)，2a_n=2（S_n-S_n-1），可得：a_n-a_n-1=1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：a_n．?dāng)?shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為T_n=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$．由上面可知：①正確．②取n=2時(shí)驗(yàn)證即可判斷出結(jié)論．③令f（n）=2T_2n-T_n，判定數(shù)列f（n）的單調(diào)性即可判斷出結(jié)論．④
T_2n-T_n=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+$…+$\frac{1}{2n}$，通過放縮即可判斷出結(jié)論．

解答 解：∵2S_n=a_n（a_n+1），a_n＞0，
∴n=1時(shí)，2a₁=a₁（a₁+1），解得a₁=1．
n≥2時(shí)，2a_n=2（S_n-S_n-1）=a_n（a_n+1）-a_n-1（a_n-1+1），化為：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∴a_n-a_n-1=1，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差與首項(xiàng)都為1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為T_n=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$．
由上面可知：①正確．
②$\frac{{T}_{2n-1}}{2n-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$，即為T_2n-1=$\frac{2n-1}{n}$=2-$\frac{1}{n}$，當(dāng)n=2時(shí)，左邊=T₃=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$=$1+\frac{5}{6}$，右邊=$2-\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，∴左邊≠右邊，因此不正確．
③令f（n）=2T_2n-T_n=$1+\frac{1}{2}+$…+$\frac{1}{n}$+2$（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{2n}）$，
則f（n+1）-f（n）=2T_2n+2-T_n+1-（2T_2n-T_n）=2（T_2n+2-T_2n）-（T_n+1-T_n）=2$（\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}）$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{2}{2n+1}$＞0，
∴數(shù)列f（n）單調(diào)遞增，f（1）=2T₂-T₁=$2（1+\frac{1}{2}）-1$=2=3-$\frac{1}{{2}^{0}}$，成立；
f（2）=2T₄-T₂=$2（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}）$-$（1+\frac{1}{2}）$=$\frac{25}{6}$-$\frac{3}{2}$=$\frac{8}{3}$＞3-$\frac{1}{2}$，成立．
f（3）=2$（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}）$-$（1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}）$=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+2$（\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}）$=$2+\frac{2}{3}$+$\frac{2}{5}$＞3，
∴n＞3時(shí)，f（n）＞f（n），而右邊=3-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$＜3，因此正確．
④T_2n-T_n=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+$…+$\frac{1}{2n}$≥$\frac{n}{2n}$=$\frac{1}{2}$，可知正確．
綜上可得：只有①③④正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)、數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．