Question

12．若函數(shù)f（x）的圖象上存在不同的兩點(diǎn)，使得此函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線相互垂直，則稱函數(shù)f（x）具有T性質(zhì)，下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是（　�。�

• A． f（x）=x³-x²+x
• B． f（x）=-2x+sinx
• C． f（x）=e^x-e^-x
• D． f（x）=1+xlnx

Answer 1

分析 若函數(shù)y=f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)上存在兩點(diǎn)，使這點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值乘積為-1，進(jìn)而可得答案．

解答 解：函數(shù)y=f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，
則函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)上存在兩點(diǎn)，使這點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值乘積為-1，
當(dāng)f（x）=x³-x²+x時，f′（x）=3x²-2x+1≥$\frac{2}{3}$，不滿足條件；
當(dāng)f（x）=-2x+sinx時，f′（x）=-2+cosx＜0恒成立，不滿足條件；
當(dāng)f（x）=e^x-e^-x時，f′（x）=e^x+e^-x≥2，不滿足條件；
當(dāng)f（x）=1+xlnx時，f′（x）=1+lnx∈R，滿足條件．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，轉(zhuǎn)化思想，難度中檔．