Question

11．已知函數(shù)f（x）=2lnx-ax²．
（Ⅰ）若曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線過點(diǎn)（2，0），求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，確定切線的方程，代入點(diǎn)（2，0），即可求a的值；
（Ⅱ）分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=2lnx-ax²，
∴f′（x）=$\frac{2}{x}$-2ax，
∴f′（1）=2-2a，
∵f（1）=-a，
∴曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y+a=（2-2a）（x-1），
代入（2，0），可得a=2-2a，∴a=$\frac{2}{3}$；
（Ⅱ）f（x）=2lnx-ax²，f′（x）=$\frac{2（1-a{x}^{2}）}{x}$（x＞0），
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，故f（x）=2lnx-ax²的單調(diào)增區(qū)間[是（0，+∞）；
②當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）＞0，可得0＜x＜$\frac{\sqrt{a}}{a}$；f′（x）＜0，可得x＞$\frac{\sqrt{a}}{a}$，
∴f（x）=2lnx-ax²的單調(diào)增區(qū)間[是（0，$\frac{\sqrt{a}}{a}$）；單調(diào)減區(qū)間是（$\frac{\sqrt{a}}{a}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．