Question

20．已知函數(shù)f（x）=-x³+3x²+9x+1．
（1）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求f（x）在點(diǎn)（-2，f（-2））處的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)小于0，由二次不等式的解法可得單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程可得切線的方程．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=-x³+3x²+9x+1的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=-3x²+6x+9．
令f′（x）＜0，解得x＜-1，或x＞3，
可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1）和（3，+∞）；
（2）f′（x）=-3x²+6x+9，
可得f（x）在點(diǎn)（-2，f（-2））處的切線斜率為
k=-3×4-12+9=-15，切點(diǎn)為（-2，3），
即有f（x）在點(diǎn)（-2，f（-2））處的切線方程為y-3=-15（x+2），
即為15x+y+27=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間，考查運(yùn)算能力，正確求導(dǎo)和運(yùn)用直線方程、二次不等式的解法是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．