Question

10．如圖，已知半徑不等的兩圓均與直線AG相切于點(diǎn)A，大圓的弦BC與小圓相切于點(diǎn)D，
弦AB、AC分別與小圓相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．
（1）求證：AD為∠BAC的平分線；
（2）求證：BD•CF=CD•BE．

Answer 1

分析 （1）AG為大圓的切線，可知∠DAG=∠BDA，∠DAG-∠BAG=∠BDA-∠ACB，根據(jù)三角形外角和定理可知∠BDA-∠ACB=∠CAD，可知∠BAD=∠CAD，即可證明AD為∠BAC的平分線；
（2）由AG為兩圓的切線，可知∠BAG=∠AFE，EF∥BC，$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BE}{CF}$，根據(jù)割線定理$\frac{BD}{CD}$=$\frac{BE}{CF}$，即可證明BD•CF=CD•BE．

解答 解：（1）∵AG為大圓的切線，
由弦切角定理可知：∠DAG=∠BDA，
∴∠DAG-∠BAG=∠BDA-∠ACB，
由三角形外角和定理可知：∠BDA-∠ACB=∠CAD，
∴∠BAD=∠CAD，
即AD為∠BAC的角平分線；
（2）由AG為兩圓的切線，
根據(jù)弦切角定理，∠BAG=∠AFE，
∴EF∥BC，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BE}{CF}$，
根據(jù)割線定理$\frac{B{D}^{2}}{C{D}^{2}}$=$\frac{BE•BA}{CF•CA}$=$\frac{B{E}^{2}}{C{F}^{2}}$，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{BE}{CF}$，
∴BD•CF=CD•BE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的關(guān)系，考查弦切角定理，切割定理及兩直線平行的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．