Question

5．已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）若函數(shù)g（x）=（-x²+ax-3）•e^x-2e^x•f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）本小題首先根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x），通過其分析函數(shù)f（x）的單調(diào)性，從而可得其在區(qū)間[t，t+2]，（t＞0）上的單調(diào)性，然后可求其最小值；
（2）問題轉(zhuǎn)化為a-（x+$\frac{3}{x}$）=lnx在[$\frac{1}{e}$，e]上有兩個零點，令m（x）=a-（x+$\frac{3}{x}$），令n（x）=lnx，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=lnx-1，令f′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{e}$．
當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{e}$）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
因為t＞0，t+2＞2＞$\frac{1}{e}$，
①當(dāng)0＜t＜$\frac{1}{e}$時，f（x）_min=f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$；
②當(dāng)t≥$\frac{1}{e}$時，f（x）_min=f（t）=tlnt，
所以f（x）min=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{e}，0＜t＜\frac{1}{e}}\\{tlnt，t≥\frac{1}{e}}\end{array}\right.$；
（2）若函數(shù)g（x）=（-x²+ax-3）•e^x-2e^x•f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上有兩個零點，
即a-（x+$\frac{3}{x}$）=lnx在[$\frac{1}{e}$，e]上有兩個零點，
令m（x）=a-（x+$\frac{3}{x}$）≤a-2$\sqrt{3}$，（當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{3}$時取“=”），
令n（x）=lnx，則-1≤n（x）≤1，
故只需-1≤a-2$\sqrt{3}$≤1，
解得：2$\sqrt{3}$-1≤a≤2$\sqrt{3}$+1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．