Question

18．己知（1+2x）²ⁿ展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和是（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和的64倍．
（1）求（1+2x）²ⁿ展開式的第3項(xiàng)；
（2）求（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ展開式含x的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)列出方程求出n的值，再求（1+2x）¹²展開式的第3項(xiàng)即可；
（2）由二項(xiàng)式（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶展開式的通項(xiàng)公式，即可求出展開式中含x的項(xiàng)．

解答 解：（1）由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，可得：
2²ⁿ=64×2ⁿ，解得n=6；
所以（1+2x）¹²展開式的第3項(xiàng)為：
T₂₊₁=C₁₂²•（2x）²=264x²；
（2）由二項(xiàng)式（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶展開式的通項(xiàng)公式為：
T_r+1=C₆^r•（2$\sqrt{x}$）^6-r•（-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）^r=（-1）^r•2^6-r•C₆^r•x^3-r，
令3-r=1，可得r=2，
所以其展開式中含x項(xiàng)為：
T₂₊₁=2⁴•${C}_{6}^{2}$x=240x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)注意項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別．