Question

13．已知A（a，2），B（1，b）為平面直角坐標(biāo)系中第一象限的兩點(diǎn)，C（4，-1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$在$\overrightarrow{OC}$方向上的投影相同，則2$\sqrt{a}$+$\sqrt$的最大值為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 3
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 6

Answer 1

分析 由投影相等得出數(shù)量積相等，得出a，b的關(guān)系，利用基本不等式得出$\sqrt{ab}$的最大值．計(jì)算（2$\sqrt{a}$+$\sqrt$）²的最大值，再開(kāi)方即可求出2$\sqrt{a}$+$\sqrt$的最大值．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$在$\overrightarrow{OC}$方向上的投影相同，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$，
即4a-2=4-b，∴4a+b=6．
∵4a+b≥2$\sqrt{4ab}$=4$\sqrt{ab}$，即6≥4$\sqrt{ab}$，∴$\sqrt{ab}$≤$\frac{3}{2}$．
∴（2$\sqrt{a}$+$\sqrt$）²=4a+b+4$\sqrt{ab}$=6+4$\sqrt{ab}$≤6+6=12．
∴2$\sqrt{a}$+$\sqrt$的最大值為$\sqrt{12}$=2$\sqrt{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．