Question

9．在等比數(shù)列{a_n}中，
（1）若S_n=189，q=2，a_n=96，求a₁和n；
（2）若a₁+a₃=10，a₄+a₆=$\frac{5}{4}$，求a₄和S₅；
（3）若q=2，S₄=1，求S₈．

Answer 1

分析 （1）由已知條件利用等比數(shù)列前n項和公式和通項公式，列出方程組，由此能求出首項與項數(shù)n．
（2）由已知條件利用等比數(shù)列的通項公式列出方程組，求出首項和公比，由此能求出a₄和S₅．
（3）利用等比數(shù)列前n項和公式求出首項，由此能求出S₈．

解答 解：（1）∵等比數(shù)列{a_n}中，S_n=189，q=2，a_n=96，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}_{1}（1-{2}^{n}）}{1-2}=189}\\{{a}_{1}×{2}^{n-1}=96}\end{array}\right.$，
解得a₁=3，n=6．
（2）∵等比數(shù)列{a_n}中，a₁+a₃=10，a₄+a₆=$\frac{5}{4}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{1}{q}^{2}=10}\\{{a}_{1}{q}^{3}+{a}_{1}{q}^{5}=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
解得${a}_{1}=8，q=\frac{1}{2}$，
∴${a}_{4}={a}_{1}{q}^{3}=8×\frac{1}{8}$=1，
S₅=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{5}）}{1-q}$=$\frac{8（1-\frac{1}{{2}^{5}}）}{1-\frac{1}{2}}$=16（1-$\frac{1}{32}$）=$\frac{31}{2}$．
（3）∵在等比數(shù)列{a_n}中，q=2，S₄=1，
∴$\frac{{a}_{1}（1-{2}^{4}）}{1-2}=1$，解得${a}_{1}=\frac{1}{15}$，
∴S₈=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{8}）}{1-q}$=$\frac{\frac{1}{15}（1-{2}^{8}）}{1-2}$=17．

點評 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的前n項和公式和通項公式的性質(zhì)的合理運用．