Question

6．從拋物線y²=4x的準(zhǔn)線l上一點(diǎn)P引拋物線的兩條切線PA，PB，A，B為切點(diǎn)，若直線AB的傾斜角為$\frac{π}{3}$，則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用直線AB的傾斜角為$\frac{π}{3}$，可得y₁+y₂=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．求出即切線PA的方程為y=$\frac{2}{{y}_{1}}$x+$\frac{1}{2}$y₁，切線PB的方程為y=$\frac{2}{{y}_{2}}$x+$\frac{1}{2}$y₂，y₁、y₂是方程t²-2yt+4x=0兩個(gè)根，利用韋達(dá)定理，可得結(jié)論．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（-1，y），則k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
∵直線AB的傾斜角為$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴y₁+y₂=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
切線PA的方程為y-y₁=$\frac{2}{{y}_{1}}$（x-x₁），切線PB的方程為y-y₂=$\frac{2}{{y}_{2}}$（x-x₂），
即切線PA的方程為y=$\frac{2}{{y}_{1}}$x+$\frac{1}{2}$y₁，切線PB的方程為y=$\frac{2}{{y}_{2}}$x+$\frac{1}{2}$y₂．
∴y₁、y₂是方程t²-2yt+4x=0兩個(gè)根，
∴y₁+y₂=2y=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
∴y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．