Question

6．已知a，b∈R⁺，m，n∈N^*．
（Ⅰ）求證：（aⁿ+bⁿ）（a^m+b^m）≤2（a^m+n+b^m+n）；
（Ⅱ）求證：$\frac{a+b}{2}$•$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}$•$\frac{{{a^3}+{b^3}}}{2}$≤$\frac{{{a^6}+{b^6}}}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作差可得2（a^m+n+b^m+n）-（aⁿ+bⁿ）（a^m+b^m），展開運用因式分解，推理a，b的大小，即可得證；
（Ⅱ）分別令n=1，m=2，以及m=n=3，運用（Ⅰ）的結(jié)論，即可得證．

解答 證明：（Ⅰ）2（a^m+n+b^m+n）-（aⁿ+bⁿ）（a^m+b^m）=a^m+n+b^m+n-aⁿb^m-aⁿb^m
=a^m（aⁿ-bⁿ）+b^m（bⁿ-aⁿ）=（a^m-b^m）（aⁿ-bⁿ）；
（1）若a≥b＞0則，a^m≥b^m＞0，aⁿ≥bⁿ＞0，可得（a^m-b^m）（aⁿ-bⁿ）≥0；
（2）若0＜a＜b，則0＜a^m＜b^m，0＜aⁿ＜bⁿ，可得（a^m-b^m）（aⁿ-bⁿ）＞0；
綜上所述總有（a^m-b^m）（aⁿ-bⁿ）≥0
故（aⁿ+bⁿ）（a^m+b^m）≤2（a^m+n+b^m+n）．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得（a+b）（a²+b²）≤2（a³+b³），
即有（a+b）（a²+b²）（a³+b³）≤2（a³+b³）（a³+b³）≤4（a⁶+b⁶）
則有$\frac{a+b}{2}•\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}•\frac{{{a^3}+{b^3}}}{2}≤\frac{{{a^6}+{b^6}}}{2}$．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用作差比較法，以及分類討論的思想方法，綜合法證明，考查推理能力，屬于中檔題．