【題目】已知橢圓右焦點,離心率為,過作兩條互相垂直的弦,設中點分別為

(1)求橢圓的標準方程;

(2)證明:直線必過定點,并求出此定點坐標.

【答案】(1)(2)

【解析】

(1)根據(jù)題意確定出c與e的值,利用離心率公式求出a的值,進而求出b的值,確定出橢圓方程即可;

(2)由直線AB與CD向量存在,設為k,表示出AB方程,設出A與B坐標,進而表示出M坐標,聯(lián)立直線AB與橢圓方程,消去y得到關于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關系表示出M,同理表示出N,根據(jù)M與N橫坐標相同求出k的值,得到此時MN斜率不存在,直線MN恒過定點;若直線MN斜率存在,表示出直線MN斜率,進而表示出直線MN,令y=0,求出x的值,得到直線MN恒過定點,綜上,得到直線MN恒過定點,求出定點坐標即可;

解:(1) 由題意:,

,

則橢圓的方程為

(2) 斜率均存在

∴設直線方程為:

再設,則有,

聯(lián)立得:,

消去得:

,即

將上式中的換成,同理可得:

,解得:,直線斜率不存在,

此時直線過點;

下證動直線過定點,

若直線斜率存在,則

直線,

,得,

綜上,直線過定點

練習冊系列答案
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