Question

6．某中學(xué)為了了解全校學(xué)生的上網(wǎng)情況，在全校采用隨機(jī)抽樣的方法抽取了40名學(xué)生（其中男女生人數(shù)恰好各占一半）進(jìn)行問卷調(diào)查，并進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，按男女分為兩組，再將每組學(xué)生的月上網(wǎng)次數(shù)分為5組：[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25]，得到如圖所示的頻率分布直方圖：

（ I）寫出a的值；
（ II）在抽取的40名學(xué)生中，從月上網(wǎng)次數(shù)不少于20次的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，并用X表示其中男生的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （I）由頻率分布的性質(zhì)能求出a．
（ II）在抽取的女生中，月上網(wǎng)次數(shù)不少于20次的學(xué)生人數(shù)為人，在抽取的男生中，月上網(wǎng)次數(shù)不少于20次的學(xué)生人數(shù)為3人，從而得到X的可能取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（I）由頻率分布的性質(zhì)得：
a=$\frac{1-（2×0.02+0.03+0.08）×5}{5}$=0.05．…（3分）
（ II）在抽取的女生中，
月上網(wǎng)次數(shù)不少于20次的學(xué)生頻率為0.02×5=0.1，學(xué)生人數(shù)為0.1×20=2人，
同理，在抽取的男生中，月上網(wǎng)次數(shù)不少于20次的學(xué)生人數(shù)為（0.03×5）×20=3人．
故X的可能取值為1，2，3．…（6分）
則P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{3}}$=$\frac{1}{10}$，
所以X的分布列為：

X	1	2	3
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

…（11分）
所以E（X）=$1×\frac{3}{10}+2×\frac{3}{5}+3×\frac{1}{10}=\frac{9}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．