Question

10．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosB-bcosA=$\frac{1}{2}$c，當tan（A-B）取最大值時，則角C的值為（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 利用正弦定理，結(jié)合兩角和的正弦公式展開可求tanA=3tanB，利用換元，結(jié)合基本不等式可求最大值取得的條件，從而可得解當tan（A-B）取最大值時，則角C的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：由acosB-bcosA=$\frac{1}{2}$c，
可得：2sinAcosB-2sinBcosA=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
可得：sinAcosB=3sinBcosA，
可得：tanA=3tanB，…（4分）
設(shè)tanB=t，則tanA=3t且t＞0，可得：
tan（A-B）=$\frac{3t-t}{1+3{t}^{2}}$=$\frac{2t}{1+3{t}^{2}}$=$\frac{2}{3t+\frac{1}{t}}$≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，…（10分）
由此時t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得：B=$\frac{π}{6}$，A=$\frac{π}{3}$，
故可得：C=$\frac{π}{2}$，
故選：D…（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理、兩角和的正弦公、兩角差的正切公式在解三角形中的應(yīng)用，基本不等式在求解函數(shù)最值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．