Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{{e}^{x}+x-a}$，（a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）． 若存在b∈[0，1]，使f（f（b））=b成立．
（1）證明：f（b）=b；
（2）求a的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用反證法，即可證明．
（2）根據(jù)題意，問題轉(zhuǎn)化為“存在b∈[0，1]，使f（b）=f^-1（b）”，即y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f^-1（x）的圖象有交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)b∈[0，1]．由y=f（x）的圖象與y=f^-1（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，得到函數(shù)y=f（x）的圖象與y=x有交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)b∈[0，1]．因此，將方程化簡整理得e^x=x²-x+a，記F（x）=e^x，G（x）=x²-x+a，由零點(diǎn)存在性定理建立關(guān)于a的不等式組，解之即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）假設(shè)f（b）≠b，則f（b）＞b或f（b）＜b，
∵f（x）=$\sqrt{{e}^{x}+x-a}$，（a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．在其定義域?yàn)樵龊瘮?shù)，
∴f（f（b））＞f（b）或f（f（b））＜b，
這與f（f（b））=b成立相矛盾，
故假設(shè)不成立，
∴f（b）=b；
（2）由f（f（b））=b，可得f（b）=f^-1（b）
其中f^-1（x）是函數(shù)f（x）的反函數(shù)
因此命題“存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立”，轉(zhuǎn)化為
“存在b∈[0，1]，使f（b）=f^-1（b）”，
即y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f^-1（x）的圖象有交點(diǎn)，
且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)b∈[0，1]，
∵y=f（x）的圖象與y=f^-1（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
∴y=f（x）的圖象與函數(shù)y=f^-1（x）的圖象的交點(diǎn)必定在直線y=x上，
由此可得，y=f（x）的圖象與直線y=x有交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)b∈[0，1]，
根據(jù)$\sqrt{{e}^{x}+x-a}$=x，化簡整理得e^x=x²-x+a
記F（x）=e^x，G（x）=x²-x+a，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出它們的圖象，
可得$\left\{\begin{array}{l}{F（0）≤G（0）}\\{F（1）≥G（1）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{0}＜{0}^{2}-0+a}\\{e＞1-1+a}\end{array}\right.$，解之得1≤a≤e
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，e]
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題給出含有根號(hào)與指數(shù)式的基本初等函數(shù)，在存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立的情況下，求參數(shù)a的取值范圍．著重考查了基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理和互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象特征等知識(shí)，屬于中檔題．