Question

7．在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n-n+1，n∈N^*．
（1）求證：數(shù)列{a_n-n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=$\frac{a_n}{2^n}-\frac{1}{2}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式得到a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），即可證明數(shù)列{a_n-n}是等比數(shù)列；
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法即可求出前n項(xiàng)和S_n．

解答 解：（1）由題設(shè)a_n+1=2a_n-n+1，得a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），n∈N^*，
又a₁-1=1，所以數(shù)列{a_n-n}是首項(xiàng)為1，且公比為2的等比數(shù)列．
（2）由（1）可知${a_n}-n={2^{n-1}}$，于是數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為 ${a_n}={2^{n-1}}+n$，
所以數(shù)列${b_n}=\frac{a_n}{2^n}-\frac{1}{2}=n{（{\frac{1}{2}}）^n}$，
所以${S_n}=1×\frac{1}{2}+2×\frac{1}{2^2}+3×\frac{1}{2^3}+…+（{n-1}）•\frac{1}{{{2^{n-1}}}}+n•\frac{1}{2^n}$，
$\frac{1}{2}{S_n}=1×\frac{1}{2^2}+2×\frac{1}{2^3}+3×\frac{1}{2^4}+…+（{n-1}）•\frac{1}{2^n}+n•\frac{1}{{{2^{n+1}}}}$，
所以$\frac{1}{2}$S_n=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹=1-（n+2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
所以${S_n}=2-\frac{n+2}{2^n}$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的遞推公式和通項(xiàng)公式的求法以及錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和，屬于中檔題．