Question

8．已知函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)h（x）=x+$\frac{1}{x}$+2的圖象關(guān)于點(diǎn)A（0，1）對(duì)稱．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在（0，8]內(nèi)的最值．

Answer 1

分析 （1）欲求f（x）的解析式，設(shè)f（x）圖象上任一點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），即尋找坐標(biāo)x，y的關(guān)系式，這可從對(duì)稱性方面考慮即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）設(shè)f（x）圖象上任一點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
點(diǎn)（x，y）關(guān)于點(diǎn)A（0，1）的對(duì)稱點(diǎn)（-x，2-y）在h（x）圖象上，
∴2-y=-x+$\frac{1}{-x}$+2，
∴y=x+$\frac{1}{x}$，即f（x）=x+$\frac{1}{x}$；
（2）f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+1）（x-1）}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，
∴f（x）在（0，1）遞減，在（1，8]遞增，
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有最小值2，
x=8時(shí)，f（x）的最大值是f（8）=$\frac{65}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的對(duì)稱性，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．