Question

若實數(shù)x，y滿足約束條件

y≥x x+y≤4 2x-y≥k

，已知（x，y）所表示的平面區(qū)域為三角形，則實數(shù)k的取值范圍為

 

，又z=x+2y有最大值8，則實數(shù)k=

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義結(jié)合數(shù)形結(jié)合，即可得到結(jié)論．

解答： 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，
要使所表示的平面區(qū)域為三角形，
則點A必須在直線2x-y=k的下方，
即A的坐標(biāo)滿足不等式2x-y＞k，
由

y=x x+y=4

，解得

x=2 y=2

，
即A（2，2），此時滿足2×2-2＞k，
即k＜2．
∵z=x+2y有最大值8，
∴平面區(qū)域在直線x+2y=8的下方，
由z=x+2y，得y=-

1

2

x+

z

2

，平移直線y=-

1

2

x+

z

2

，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點B時，
直線y=-

1

2

x+

z

2

的截距最大，此時z最大為x+2y=8，
由

x+2y=8 x+y=4

，得

x=0 y=4

，即B（0，4），同時B也在2x-y=k上，
∴-y=4，解得k=-4，
故答案為：k＜2，-4

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的最大值確定最優(yōu)解，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．