Question

17．如圖所示的四棱 P-ABCD中，AB=BC=$\sqrt{2}$，AD=DC=$\sqrt{5}$，PD=2，AB⊥BC，E，F(xiàn)分別是△PAC與△PCD的重心．
（I）證明：EF∥平面ABCD；
（II）若三棱錐P-EFD的體積為$\frac{4}{27}$，證明：PD⊥平面ABCD．

Answer 1

分析 （I）延長(zhǎng)PE交AC于點(diǎn)G，延長(zhǎng)PF交CD于點(diǎn) H，利用重心的性質(zhì)得出$\frac{{{P}{E}}}{{{P}G}}=\frac{{{P}F}}{{{P}{H}}}=\frac{2}{3}$，于是EF∥GH，故而EF∥平面ABCD；
（II）設(shè)P到平面ACD的距離為h，求出V_P-ACD，根據(jù)各線段的比例關(guān)系可得V_P-EFD=$\frac{1}{9}$V_P-ACD，從而解出h=PD=2．故而PD⊥平面ABCD．

解答 解：（I）延長(zhǎng) P E交 AC于點(diǎn)G，延長(zhǎng) PF交CD于點(diǎn) H連接GH．
∵E，F(xiàn)分別是△P AC，△PCD的重心，
∴$\frac{{{P}{E}}}{{{P}G}}=\frac{{{P}F}}{{{P}{H}}}=\frac{2}{3}$，
∴EF∥G H，又EF?平面ABCD，GH?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
（II）連接DG．
∵${A}{B}={B}C=\sqrt{2}$，A B⊥BC，∴AC=2，
∵${A}D=DC=\sqrt{5}$，∴DG=2，
則${S_{△{A}CD}}=\frac{1}{2}•2•2=2$，
設(shè)P到平面ACD的距離為h，則V_P-ACD=$\frac{1}{3}{S}_{△ACD}•h$=$\frac{2}{3}h$．
∵$\frac{PF}{PH}$=$\frac{2}{3}$，H是CD的中點(diǎn)，
∴V_P-EFD=V_E-PFD=$\frac{2}{3}$V_E-PDH=$\frac{1}{3}$V_E-PCD．
又∵$\frac{PE}{PG}=\frac{2}{3}$，G是AC的中點(diǎn)，
∴V_E-PVD=$\frac{2}{3}$V_G-PCD=$\frac{1}{3}$V_A-PCD=$\frac{1}{3}$V_P-ACD．
∴V_P-EFD=$\frac{1}{9}$V_P-ACD=$\frac{2h}{27}$=$\frac{4}{27}$，
∴h=2，又 PD=2，
∴PD為棱錐P-ACD的高，即 PD⊥平面ABCD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行，線面垂直的判定，棱錐的體積公式，屬于中檔題．