Question

10．如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，PA=AB，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)．
（1）當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，證明EF∥平面PAC；
（2）證明：無論點(diǎn)E在邊BC的何處，都有PE⊥AF．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)EF，推導(dǎo)出EF∥PC，由此能證明EF∥平面PAC．
（2）推導(dǎo)出BC⊥PA，BC⊥AB，從而BC⊥平面PAB，進(jìn)而BC⊥AF，再求出AF⊥PB，從而AF⊥平面PBC，由此能證明無論點(diǎn)E在邊BC的何處，都有PE⊥AF．

解答 證明：（1）連結(jié)EF，
∵點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，
∴EF∥PC，
∵EF?平面PAC，PC?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
證明：（2）∵PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為矩形，
∴BC⊥PA，BC⊥AB，
∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
∵AF?平面PAB，∴BC⊥AF，
∵PA=AB，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，∴AF⊥PB，
∵PB∩BC=B，∴AF⊥平面PBC，
∵點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)，∴PE?平面PBC，
∴無論點(diǎn)E在邊BC的何處，都有PE⊥AF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查線線垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．