Question

15．在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα\\ y=\sqrt{3}+tsinα\end{array}$（t為參數(shù)，其中0＜α＜$\frac{π}{2}$），橢圓M的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosβ\\ y=sinβ\end{array}$（β為參數(shù)），圓C的標準方程為（x-1）²+y²=1．
（1）寫出橢圓M的普通方程；
（2）若直線l為圓C的切線，且交橢圓M于A，B兩點，求弦AB的長．

Answer 1

分析 （1）由橢圓M的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosβ\\ y=sinβ\end{array}$（β為參數(shù)），利用cos²β+sin²β=1，即可得出橢圓M的普通方程．
（2）將直線的參數(shù)方程C代入圓的方程化為：${t^2}+（{2cosα+2\sqrt{3}sinα}）t+3=0$，由直線l為圓C的切線可知△=0，解得$α=\frac{π}{6}$，可得直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t\end{array}\right.$，將其代入橢圓M的普通方程化為關(guān)于t的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系代入|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：（1）由橢圓M的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosβ\\ y=sinβ\end{array}$（β為參數(shù)），利用cos²β+sin²β=1，可得：橢圓M的普通方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）將直線的參數(shù)方程C代入圓的方程化為：${t^2}+（{2cosα+2\sqrt{3}sinα}）t+3=0$，
由直線l為圓C的切線可知△=0，即${（{2cosα+2\sqrt{3}sinα}）^2}-4×3=0$，解得$α=\frac{π}{6}$，
∴直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t\end{array}\right.$，
將其代入橢圓M的普通方程得$7{t^2}+24\sqrt{3}t+48=0$，
設(shè)A，B對應的參數(shù)分別為t₁，t₂，∴t₁+t₂=-$\frac{24\sqrt{3}}{7}$，t₁t₂=$\frac{48}{7}$．
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{8\sqrt{6}}{7}$．

點評 本題考查了橢圓與直線的參數(shù)方程、直線與圓相切的性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、直線參數(shù)方程的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．