Question

1．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=6，D為AC邊上的中點，E為BC邊上一點，且$\overrightarrow{BE}$=$λ\overrightarrow{BC}$（0＜λ＜1）．
（1）當(dāng)$λ=\frac{1}{2}$時，若$\overrightarrow{AE}$=x$\overrightarrow{BD}$+y$\overrightarrow{AC}$，求x，y的值；
（2）當(dāng)AE⊥BD時，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）建立平面直角坐標(biāo)系，表示出向量$\overrightarrow{BD}$、$\overrightarrow{AC}$和$\overrightarrow{AE}$，利用平面向量的坐標(biāo)表示和向量相等列出方程組，即可求出x和y的值；
（2）設(shè)出點E（x，y），利用AE⊥BD時$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=0，和$\overrightarrow{BE}$與$\overrightarrow{BC}$共線，列出方程組，解方程組求出點E的坐標(biāo)，即可求出λ的值．

解答 解：（1）建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示；
則A（0，0），B（0，2），C（6，0），D（3，0），
當(dāng)$λ=\frac{1}{2}$時，$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，E是BC的中點，
所以E（3，1），$\overrightarrow{BD}$=（3，-2），$\overrightarrow{AC}$=（6，0），$\overrightarrow{AE}$=（3，1）；
又$\overrightarrow{AE}$=x$\overrightarrow{BD}$+y$\overrightarrow{AC}$，
所以（3，1）=x（3，-2）+y（6，0）=（3x+6y，-2x），
即$\left\{\begin{array}{l}{3x+6y=3}\\{-2x=1}\end{array}\right.$，
解得x=-$\frac{1}{2}$，y=$\frac{3}{4}$；
（2）設(shè)點E（x，y），則$\overrightarrow{AE}$=（x，y）；
當(dāng)AE⊥BD時，$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BD}$=0，
即3x-2y=0①；
又$\overrightarrow{BE}$=（x，y-2），
$\overrightarrow{BC}$=（6，-2），且$\overrightarrow{BE}$與$\overrightarrow{BC}$共線，
所以-2x-6（y-2）=0②；
由①②組成方程組，解得x=$\frac{12}{11}$，y=$\frac{18}{11}$；
所以$\overrightarrow{BE}$=（$\frac{12}{11}$，-$\frac{4}{11}$），
所以$\overrightarrow{BE}$=$\frac{2}{11}$$\overrightarrow{BC}$，
即λ的值為$\frac{2}{11}$．

點評 本題考查了平面向量的應(yīng)用問題，也考查了用向量法解答三角形的有關(guān)問題，是綜合性題目．