Question

19．設(shè)關(guān)于x的函數(shù)f（x）=2cos²x-2acosx-（2a+1）的最小值為g（a）．
（1）試用a寫出g（a）的表達(dá)式；
（2）試求g（a）=$\frac{1}{2}$時a的值，并求此時f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式對函數(shù)解析式化簡，配方后，討論$\frac{a}{2}$的范圍確定g（a）的解析式，最后綜合即可．
（2）利用每個范圍段的解析式求得a的值，最后驗證a即可．

解答 （本小題12分）
解：（1）f（x）=2cos²x-2acosx-（2a+1）=2（cosx-$\frac{a}{2}$）²-$\frac{{a}^{2}+4a+2}{2}$，且|cosx|≤1，
當(dāng)$\frac{a}{2}$≤-1，即a≤-2時，g（a）=f（-1）=1，
當(dāng)-1＜$\frac{a}{2}$＜1，即-2＜a＜2時，g（a）=f（$\frac{a}{2}$）=-$\frac{{a}^{2}}{2}$-2a-1，
當(dāng)$\frac{a}{2}$≥1，即a≥2時，g（a）=f（1）=1-4a，
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{1}{-\frac{{a}^{2}}{2}-2a-1}}&{\stackrel{a≤-2}{-2＜a＜2}}\\{1-4a}&{a≥2}\end{array}\right.$，
（2）由（1）知，g（a）=$\frac{1}{2}$ 時，若a≥2，
則1-4a=$\frac{1}{2}$，可得a=$\frac{1}{8}$與前提矛盾，舍去，
故-$\frac{{a}^{2}}{2}$-2a-1=$\frac{1}{2}$，可得a=-1，
此時，f（x）=2（cosx+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)cosx=1時，f（x）取得最大值5．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)思想的運用，分段函數(shù)等知識，考查了學(xué)生綜合素質(zhì)，屬于中檔題．