Question

19．設(shè)|$\overrightarrow{OA}$|=1，|$\overrightarrow{OB}$|=2，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，且λ+μ=1，則$\overrightarrow{OA}$在$\overrightarrow{OP}$上的投影的取值范圍是（-$\sqrt{5}$，1]．

Answer 1

分析 由條件求得|$\overrightarrow{OP}$|、$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}$的值，可得$\overrightarrow{OA}$在$\overrightarrow{OP}$上的投影為x=$\frac{λ}{\sqrt{{5λ}^{2}-8λ+4}}$，分類討論，求得$\frac{1}{x}$的范圍，可得x的范圍．

解答 解：∵|$\overrightarrow{OA}$|=1，|$\overrightarrow{OB}$|=2，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，且λ+μ=1，
∴|$\overrightarrow{OP}$|=$\sqrt{{[λ\overrightarrow{OA}+（1-λ）\overrightarrow{OB}]}^{2}}$=$\sqrt{{λ}^{2}+0+{4（1-λ）}^{2}}$=$\sqrt{{5λ}^{2}-8λ+4}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$•[λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$]=λ•${\overrightarrow{OA}}^{2}$+（1-λ）$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=λ•${\overrightarrow{OA}}^{2}$=λ．
設(shè)$\overrightarrow{OA}$在$\overrightarrow{OP}$上的投影為x，則 $\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$=x•|$\overrightarrow{OP}$|=x•$\sqrt{{5λ}^{2}-8λ+4}$=λ，
∴x=$\frac{λ}{\sqrt{{5λ}^{2}-8λ+4}}$．
當(dāng)λ=0時(shí)，x=0，當(dāng)λ＞0時(shí)，$\frac{1}{x}$=$\sqrt{\frac{{5λ}^{2}-8λ+4}{{λ}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{4}{{λ}^{2}}-\frac{8}{λ}+5}$=$\sqrt{{（\frac{2}{λ}-2）}^{2}+1}$，故當(dāng)λ=1時(shí)，$\frac{1}{x}$取得最小值，為1，
即$\frac{1}{x}$≥1，∴0＜x≤1．
當(dāng)λ＜0時(shí)，$\frac{1}{x}$=-$\sqrt{\frac{{5λ}^{2}-8λ+4}{{λ}^{2}}}$=-$\sqrt{\frac{4}{{λ}^{2}}-\frac{8}{λ}+5}$=-$\sqrt{{（\frac{2}{λ}-2）}^{2}+1}$＜-$\sqrt{4+1}$=-$\sqrt{5}$，即 $\frac{1}{x}$＜-$\sqrt{5}$，
∴-$\sqrt{5}$＜x＜0．
綜上可得，x∈（-$\sqrt{5}$，1]，
故答案為：（-$\sqrt{5}$，1]．

點(diǎn)評 本題考點(diǎn)是向量在幾何中的應(yīng)用，綜合考查了向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積的運(yùn)算及數(shù)量積公式，熟練掌握向量的相關(guān)公式是解題的關(guān)鍵，是中檔題．