Question

13．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=3，a_n+1=a_n+2a_n-1（n≥2），求a_n．

Answer 1

分析 a_n+1=a_n+2a_n-1（n≥2），變形a_n+1-2a_n=-（a_n-2a_n-1），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：a_n+1-2a_n=（-1）^n-1，變形為：a_n+1+$\frac{1}{3}$（-1）ⁿ=2[a_n+$\frac{1}{3}（-1）^{n-1}$]，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=a_n+2a_n-1（n≥2），
∴a_n+1-2a_n=-（a_n-2a_n-1），
∴數(shù)列{a_n+1-2a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為-1．
∴a_n+1-2a_n=（-1）^n-1，
∴a_n+1+$\frac{1}{3}$（-1）ⁿ=2[a_n+$\frac{1}{3}（-1）^{n-1}$]，
∴數(shù)列{a_n+$\frac{1}{3}$（-1）^n-1}為等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為$\frac{4}{3}$．
∴a_n+$\frac{1}{3}$（-1）^n-1=$\frac{4}{3}$×2^n-1=$\frac{{2}^{n+1}}{3}$．
∴a_n=$\frac{{2}^{n+1}+（-1）^{n}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．