Question

18．設函數f（x）=$\frac{1}{x-a}$-$\frac{λ}{x-2}$，其中a，λ∈R．
（I）當a=4，λ=1時，判斷函數f（x）在（3，4）上的單調性，并說明理由；
（II）記A₁={（x，y）|x＞0，y＞0}，A₂={（x，y）|x＜0，y＞0}，A₃={（x，y）|x＜0，y＜0}，A₄={（x，y）|x＞0，y＜0}．M={（x，y）|y=f（x）}，若對任意的λ∈（1，3）恒有M∩A_i≠∅（i=1，2，3，4）求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）當a=4，λ=1時，f（x）=$\frac{1}{x-4}$-$\frac{1}{x-2}$=$\frac{2}{{x}^{2}-6x+8}$在（3，4）上單調遞減，利用導數法，可證明結論；
（II）有已知可得對任意的λ∈（1，3）恒有函數f（x）=$\frac{1}{x-a}$-$\frac{λ}{x-2}$的圖象必過四個象限，進而可得實數a的取值范圍．

解答 解：（I）當a=4，λ=1時，f（x）=$\frac{1}{x-4}$-$\frac{1}{x-2}$=$\frac{2}{{x}^{2}-6x+8}$在（3，4）上單調遞減，理由如下：
∵f′（x）=$\frac{-2（2x-6）}{{（x}^{2}-6x+8）^{2}}$，
當x∈（3，4）時，f′（x）＜0恒成立，
故當a=4，λ=1時，函數f（x）在（3，4）上的單調遞減；
（II）記A₁={（x，y）|x＞0，y＞0}，
A₂={（x，y）|x＜0，y＞0}，
A₃={（x，y）|x＜0，y＜0}，
A₄={（x，y）|x＞0，y＜0}．
M={（x，y）|y=f（x）}，
若對任意的λ∈（1，3）恒有M∩A_i≠∅（i=1，2，3，4），
則函數f（x）=$\frac{1}{x-a}$-$\frac{λ}{x-2}$的圖象必過四個象限，
∵f（x）=$\frac{1}{x-a}$-$\frac{λ}{x-2}$=$\frac{（1-λ）x+aλ-2}{{x}^{2}-（a+2）x+2a}$，
令g（x）=[（1-λ）x+aλ-2]（x²-（a+2）x+2a）=0，
則g（x）的圖象必過四個象限，
令g（x）=0，則x=2，x=a，x=$\frac{aλ-2}{λ-1}$=a+$\frac{a-2}{λ-1}$，
若a＜0，則a+$\frac{a-2}{λ-1}$≠a恒成立，滿足條件；
若a=0，則a+$\frac{a-2}{λ-1}$=$\frac{-2}{λ-1}$＜0恒成立，滿足條件；
若a＞0，則須$\frac{aλ-2}{λ-1}$＜0恒成立，即aλ-2＜0恒成立，即a＜$\frac{2}{λ}$恒成立，
由λ∈（1，3）得：$\frac{2}{λ}$∈（$\frac{2}{3}$，2），
則0＜a≤$\frac{2}{3}$，
綜上所述：a≤$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查的知識點是函數的單調性，函數的圖象，函數恒成立問題，本題綜合性強，轉化困難，屬于難題．