Question

15．已知拋物線的方程為y²=2px（p＞0），O為坐標原點，A、B為拋物線上的點，若△OAB為等邊三角形，且面積為12$\sqrt{3}$，則p的值為（　�。�

• A． 2
• B． 1
• C． 3
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 設B（x₁，y₁），A（x₂，y₂），由于|OA|=|OB|，可得x₁²+y₁²=x₂²+y₂²．代入化簡可得：x₁=x₂．由拋物線對稱性，知點B、A關(guān)于x軸對稱．不妨設直線OB的方程為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，與拋物線方程聯(lián)立解出即可得出．

解答 解：設B（x₁，y₁），A（x₂，y₂），
∵|OA|=|OB|，∴x₁²+y₁²=x₂²+y₂²．
又∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
∴x₂²-x₁²+2p（x₂-x₁）=0，
即（x₂-x₁）（x₁+x₂+2p）=0．
又∵x₁、x₂與p同號，∴x₁+x₂+2p≠0．
∴x₂-x₁=0，即x₁=x₂．
由拋物線對稱性，知點B、A關(guān)于x軸對稱．
不妨設直線OB的方程為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
聯(lián)立y²=2px，解得B（6p，2$\sqrt{3}$p）．
∵面積為12$\sqrt{3}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}•（4\sqrt{3}p）^{2}=12\sqrt{3}$，∴p=1
故選B．

點評 本題考查了拋物線的標準方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題、等邊三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．