Question

19．已知函數f（x）定義域為[0，+∞），當x∈[0，1]時，f（x）=sinπx，當x∈[n，n+1]時，f（x）=$\frac{f（x-n）}{{2}^{n}}$，其中n∈N，若函數f（x）的圖象與直線y=b有且僅有2016個交點，則b的取值范圍是（　�。�

• A． （0，1）
• B． （$\frac{1}{{2}^{1007}}$，$\frac{1}{{2}^{1006}}$）
• C． （$\frac{1}{{2}^{2017}}$，$\frac{1}{{2}^{2016}}$）
• D． （$\frac{1}{{2}^{1008}}$，$\frac{1}{{2}^{1007}}$）

Answer 1

分析 根據題意，畫出函數f（x）的圖象，結合圖象總結出函數f（x）的圖象與直線y=b的交點情況，從而得出b的取值范圍．

解答 解：根據題意，x∈[0，1]時，f（x）=sinπx，
x∈[n，n+1]時，f（x）=$\frac{f（x-n）}{{2}^{n}}$，其中n∈N，
∴f（n）=sinnπ=0，
f（$\frac{1}{2}$）=sin$\frac{π}{2}$=1，
f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{f（\frac{3}{2}-1）}{2}$=$\frac{f（\frac{1}{2}）}{2}$=$\frac{1}{2}$，
f（$\frac{5}{2}$）=$\frac{f（\frac{5}{2}-2）}{{2}^{2}}$=$\frac{f（\frac{1}{2}）}{4}$=$\frac{1}{4}$，…；
畫出圖形如圖所示；
當b∈（$\frac{1}{2}$，1）時，函數f（x）的圖象與直線y=b有2個交點；　　
當b∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）時，函數f（x）的圖象與直線y=b有4個交點；　　
當b∈（$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{4}$）時，函數f（x）的圖象與直線y=b有6個交點；…；
當b∈（$\frac{1}{{2}^{1008}}$，$\frac{1}{{2}^{1007}}$）時，函數f（x）的圖象與直線y=b有2016個交點．
故選：D．

點評 本題考查了函數的定義與性質以及函數圖象的應用問題，是較難的題目．