Question

6．如圖，已知⊙O₁與⊙O₂相交于點M，N，NA為⊙O₂的直徑，連接AM交⊙O₁于點B，點C為$\widehat{AM}$的中點，連接CN分別與直線AB，⊙O₁交于點D，E．求證：
（1）AC∥BE
（2）CD•BE²=CN•DE²．

Answer 1

分析 （1）連接MN，BN，利用圓中直徑的性質(zhì)，證明∠BEC=∠ACN，即可證明AC∥BE；
（2）證明△ACN∽△DCA，可得AC²=CD•CN，結(jié)合$\frac{{A{C^2}}}{{B{E^2}}}=\frac{{C{D^2}}}{{D{E^2}}}$，即可證明結(jié)論．

解答 證明：（1）如圖，連接MN，BN，
∵NA為⊙O₂的直徑，∴∠AMN=90°，∴∠BMN=90°，
∴BN為⊙O₁的直徑，∴∠BEN=90°，∴∠BEC=90°，
又∵NA為⊙O₂的直徑，∠ACN=90°，
∴∠BEC=∠ACN，∴AC∥BE．…（5分）
（2）∵AC∥BE，∴△ACD∽△BED，∴$\frac{AC}{BE}=\frac{CD}{DE}$；
∵點C為$\widehat{AM}$的中點，∴∠ANC=∠CAM，
又∵∠ACN=∠DCA，∴△ACN∽△DCA，
∴$\frac{AC}{CD}=\frac{CN}{AC}$，∴AC²=CD•CN．
又∵$\frac{{A{C^2}}}{{B{E^2}}}=\frac{{C{D^2}}}{{D{E^2}}}$，∴$\frac{CD\;•\;CN}{{B{E^2}}}=\frac{{C{D^2}}}{{D{E^2}}}$，
∴CD•BE²=CN•DE²．…（10分）

點評 本小題主要考查平面幾何中三角形相似的判定與性質(zhì)，以及圓中角的性質(zhì)等知識．