Question

為了調(diào)查學(xué)生星期天晚上學(xué)習(xí)時(shí)間利用問(wèn)題，某校從高二年級(jí)100名學(xué)生（其中走讀生450名，住宿生550名）中，采用分層抽樣的方法抽取n名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，根據(jù)問(wèn)卷取得了這n名同學(xué)每天晚上學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，按照以下區(qū)間分為八組
①[0，30），②[30，60）③[60，90）④[90，120）⑤[120，150）⑥[150，180）⑦[180，210）⑧[210，240），得到頻率布直方圖如圖，已知抽取的學(xué)生中星期天晚上學(xué)習(xí)時(shí)間少于60分鐘的人數(shù)為5人．
（1）求n的值并補(bǔ)全下列頻率分布直方圖；
（2）如果把“學(xué)生晚上學(xué)習(xí)時(shí)間達(dá)到兩小時(shí)”作為是否充分利用時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)抽取的n名學(xué)生，完成下列2×2列聯(lián)表：

	利用時(shí)間充分	利用時(shí)間不充分	合計(jì)
走讀生
住校生		10
合計(jì)

據(jù)此資料，你是否認(rèn)為學(xué)生“利用時(shí)間是否充分”與走讀、住校有關(guān)？
（3）若在第①組、第②組共抽出2人調(diào)查影響有效利用時(shí)間的原因，求抽出的2人中第①組第②組各有1人的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：頻率分布直方圖,列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）由分層抽樣及頻率分布直方圖的特點(diǎn)即可求得結(jié)果；
（2）由分布直方圖可完成表格，再將數(shù)據(jù)帶入給定的公式即可；
（3）先列出基本事件總數(shù)的情況，再挑出滿足條件的情況即可．

解答： 解：（1）設(shè)第i組的頻率為P_i（i=1，2，…，8），
由圖可知：P₁=

1

1500

×30=

2

100

，P₂=

1

1000

×30=

3

100

，
∴學(xué)習(xí)時(shí)間少于60分鐘的頻率為P₁+P₂=

5

100

，
由題意：n×

5

100

=5
∴n=100，
又P₃=

1

375

×30=

8

100

，P₅=

1

100

×30=

30

100

，
P₆=

1

120

×30=

25

100

，P₇=

1

200

×30=

15

100

，P₈=

1

600

×30=

5

100

，
∴P₄=1-（P₁+P₂+P₃+P₅+P₆+P₇+P₈）=

12

100

，
∴第④組的高度為：h=

12

100

×

1

30

=

12

3000

=

1

250

，
頻率分布直方圖如右圖
（2）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，
“走讀生”有45人，利用時(shí)間不充分的有40人，
從而2×2列聯(lián)表如下：

	利用時(shí)間充分	利用時(shí)間不充分	總計(jì)
走讀生	30	15	45
住宿生	45	10	55
總計(jì)	75	25	100

將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得                                 
K²=

100(30×10-45×15)2

(30+45)(15+10)(30+15)(45+10)

=

100

33

≈3.030，
因?yàn)?.030＜3.841，
所以沒(méi)有理由認(rèn)為學(xué)生“利用時(shí)間是否充分”與走讀、住宿有關(guān)；
（3）記第①組2人為A₁、A₂，第②組的3人為B₁、B₂、B₂，則“從5人中抽取2人”
所構(gòu)成的基本事件空間Ω=“A₁A₂、A₁B₁、A₁B₂、A₁B₃、A₂B₁、A₂B₂、A₂B₃、
B₁B₂、B₁B₃、B₂B₃”，共10個(gè)基本事件；
記“抽取2人中第①組、第②組各有1人”記作事件A，
則事件A所包含的基本事件有：A₁B₁、A₁B₂、A₁B₃、
A₂B₁、A₂B₂、A₂B₃共6個(gè)基本事件，
∴P（A）=

6

10

=

3

5

，
即抽出的2人中第①組第②組各有1人的概率為

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查頻率分布直方圖及概率的計(jì)算，做題時(shí)要認(rèn)真審題，弄清題意，屬基礎(chǔ)題．