Question

7．如圖1，△ABC是等腰直角三角形∠CAB=90°，AC=2a，E，F(xiàn)分別為AC，BC的中點(diǎn)，沿EF將△CEF折起，得到如圖2所示的四棱錐C′-ABFE
（Ⅰ）求證：AB⊥平面AEC′；
（Ⅱ）當(dāng)四棱錐C′-ABFE體積取最大值時(shí)，
（i）若G為BC′中點(diǎn)，求異面直線GF與AC′所成角；
（ii）在C′-ABFE中AE交BF于C，求二面角A-CC′-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出EF⊥AE，EF⊥C'E，從而EF⊥平面AEC'，由此能證明AB⊥平面AEC'．
（Ⅱ）（i）取AC'中點(diǎn)D，連接DE，EF，F(xiàn)G，GD，推導(dǎo)出四邊形DEFG 為平行四邊形，直線GF 與AC'所成角就是DE 與AC'所成角，由此能求出直線GF 與AC'所成角．
（ii） 分別以EA、EF、EC'所在直線為x 軸、y 軸、z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面C'AE與平面C'BF的平面角的夾角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）因?yàn)椤鰽BC 是等腰直角三角形，∠CAB=90°，E，F(xiàn) 分別為AC，BC 的中點(diǎn)，
所以EF⊥AE，EF⊥C'E．
又因?yàn)锳E∩C'E=E，所以EF⊥平面AEC'．
由于EF∥AB，所以有AB⊥平面AEC'．4分
解：（Ⅱ）（i）取AC'中點(diǎn)D，連接DE，EF，F(xiàn)G，GD，
由于GD 為△ABC'中位線，以及EF 為△ABC 中位線，
所以四邊形DEFG 為平行四邊形．
直線GF 與AC'所成角就是DE 與AC'所成角．
所以四棱錐C'-ABFE 體積取最大值時(shí)，C'E 垂直于底面ABFE．
此時(shí)△AEC'為等腰直角三角形，
ED 為中線，所以直線ED⊥AC'．
又因?yàn)镋D∥GF，所以直線GF 與AC'所成角為$\frac{π}{2}$．10分
（ii） 因?yàn)樗睦忮FC'-ABFE 體積取最大值，
分別以EA、EF、EC'所在直線為x 軸、y 軸、z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，
則C'（0，0，a），B（a，2a，0），F(xiàn)（0，a，0），C'B（a，2a，-a），C'F（0，a，-a）．
設(shè)平面C'BF 的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}^{'}B}=ax+2ay-az=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}^{'}F}=ay-az=0}\end{array}\right.$得，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（-1，1，1）．
平面C'AE 的一個(gè)法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0）．
所以cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故平面C'AE與平面C'BF的平面角的夾角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．14分

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查線線角的求法，考查二面角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．