Question

2．已知定義在R上的可導函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f′（x），滿足f′（x）＜f（-2-x），且函數(shù)y=f（x-1）為偶函數(shù)，f（-3）=e，則不等式f（x）＜e^x的解集為（1，+∞）．

Answer 1

分析 首先構造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，研究g（x）的單調性，結合原函數(shù)的性質和函數(shù)值，即可求解．

解答 解：∵y=f（x-1）為偶函數(shù)
∴y=f（x-1）的圖象關于x=0對稱
∴y=f（x）的圖象關于x=-1對稱，
∴f（-2-x）=f（x），
∴f（-3）=f（1），
又∵f（-3）=e，
∴f（1）=e，
設g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$（x∈R），則g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
又∵f′（x）＜f（-2-x）=f（x），
∴f′（x）-f（x）＜0，
∴g′（x）＜0，
∴y=g（x）單調遞減，
∵f（x）＜e^x，∴$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜1，
即g（x）＜1，
又∵g（1）=$\frac{f（1）}{e}$=1，
∴g（x）＜g（1），
∴x＞1，
故答案為：（1，+∞）．

點評 本題首先須結合已知條件構造函數(shù)，然后考察用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，再由函數(shù)的單調性和函數(shù)值的大小關系，判斷自變量的大小關系．