Question

11．已知|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=8，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角是120°，
（1）求|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow$|；
（2）若（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）⊥（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$），求實數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）可進行向量數(shù)量積的運算，從而可求出$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{|}^{2}$的值，進而便可求出$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow|$的值；
（2）（2）根據(jù)條件即可得出$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）•（k\overrightarrow{a}-\overrightarrow）=0$，這樣進行向量數(shù)量積的運算即可得到關(guān)于k的方程，解出k即可．

解答 解：（1）根據(jù)條件，$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{|}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+4{\overrightarrow}^{2}$
=16+4×16+4×64
=336；
∴$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow|=4\sqrt{21}$；
（2）∵$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）⊥（k\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$；
∴$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）•（k\overrightarrow{a}-\overrightarrow）=k{\overrightarrow{a}}^{2}$$+（2k-1）\overrightarrow{a}•\overrightarrow-2{\overrightarrow}^{2}$
=16k-16（2k-1）-128
=0；
解得k=-7．

點評 考查向量夾角的概念，向量數(shù)量積的運算及計算公式，以及要求$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow|$而求$|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{|}^{2}$的方法．