Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-bx）}{x}$（b∈R）．若存在x∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，$\frac{5}{6}$）
• B． （-∞，$\frac{8}{3}$）
• C． （-$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{6}$）
• D． （$\frac{8}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 求出f′（x），問(wèn)題轉(zhuǎn)化為b＜$\frac{{x}^{2}+2x}{x+1}$在[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，令g（x）=$\frac{{x}^{2}+2x}{x+1}$，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，求出b的范圍即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-bx）}{x}$=e^x（x-b），
∴f′（x）=e^x（x-b+1），
若存在x∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，
則若存在x∈[$\frac{1}{2}$，2]，使得e^x（x-b）+xe^x（x-b+1）＞0，
即b＜$\frac{{x}^{2}+2x}{x+1}$在[$\frac{1}{2}$，2]恒成立，
令g（x）=$\frac{{x}^{2}+2x}{x+1}$，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，
則g′（x）=$\frac{{x}^{2}+2x+2}{{（x+1）}^{2}}$＞0，
g（x）在[$\frac{1}{2}$，2]遞增，
∴g（x）_最大值=g（2）=$\frac{8}{3}$，
故b＜$\frac{8}{3}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．