Question

3．直線$\sqrt{3}$x+y-2=0截圓x²+y²=4得到的劣弧所對的圓周角為（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{2π}{3}$

Answer 1

分析 由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程找出圓心坐標(biāo)和半徑r，利用點到直線的距離公式求出圓心C到已知直線的距離d，由垂徑定理及勾股定理求出直線被圓截得的弦長，利用三角函數(shù)即可得出結(jié)論．

解答 解：過O作OC⊥AB，垂足為點C，
由圓的方程x²+y²=4，得到圓心O的坐標(biāo)為（0，0），半徑r=2，
∵圓心到直線$\sqrt{3}$x+y-2=0的距離d=|OC|=$\frac{2}{2}$=1，
∴直線被圓截得的弦|AB|=2$\sqrt{4-1}$=2$\sqrt{3}$，
∴sin∠AOC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠AOC=$\frac{π}{3}$，
∴∠AOB=$\frac{2π}{3}$．
故選D．

點評 此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點到直線的距離公式，垂徑定理，勾股定理，以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，當(dāng)直線與圓相交時，常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點，再由弦長的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．