Question

9．設函數f（x）為R上的增函數，a、b∈R．求證：a+b≥0的充要條件是f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．

Answer 1

分析 由題意可得a≥-b，b≥-a，由函數的單調性可得不等式，相加可得．

解答 證明：a+b≥0等價于a≥-b，b≥-a，
由函數f（x）為R上的增函數可得f（a）≥f（-a），f（b）≥f（-b），
由不等式的可加性可得f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．
反之，若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），
可設a+b＜0，等價于a＜-b，b＜-a，
由函數f（x）為R上的增函數可得f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-a），
由不等式的可加性可得f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）．
這與假設矛盾．則a+b≥0．
∴a+b≥0的充要條件是f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．

點評 本題考查函數的單調性，涉及充要條件和不等式的性質，屬基礎題．