3．已知雙曲線E的左，右頂點(diǎn)為A，B，點(diǎn)C在E上，AB=BC，且∠BCA=30°，則E的離心率為（　�。�
A．$\sqrt{5}$B．2C．$\sqrt{2}$D．$\sqrt{3}$

分析 設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），由題意知，AB=2a，運(yùn)用等腰三角形的定義可得∠CBA=120°，運(yùn)用三角函數(shù)的定義可設(shè)C（2a，$\sqrt{3}$a），代入雙曲線的方程，可得a=b，由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
由題意知，AB=2a，
又△ABC中，BC=AB=2a，∠BCA=30°，
可得∠CBA=120°，
由題意可設(shè)C（2a，$\sqrt{3}$a），
代入雙曲線的方程可得$\frac{4{a}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{a}^{2}}{^{2}}$=1，
即有a=b，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
則e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用等腰三角形的定義和三角函數(shù)的定義，運(yùn)用點(diǎn)滿足雙曲線的方程，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

8．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且A=$\frac{π}{3}$．
（1）若b=2，△ABC的面積為3$\sqrt{3}$，求a的值；
（2）若2c2-2a2=b2，求證：2sin（C-$\frac{π}{3}$）=sinB．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

9．設(shè)函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)，a、b∈R．求證：a+b≥0的充要條件是f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

6．根據(jù)已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$，求作$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$、$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$．
（1
（2
（3

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

13．已知數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)依次構(gòu)成公差為d1的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)依次構(gòu)成公差為d2的等差數(shù)列，且對(duì)任意n∈N*，都有an＜an+1，若a1=1，a2=2，且數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和S10=75，則a8=11．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

8．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的離心率為$e=\sqrt{3}$，則它的漸近線方程為y=±$\sqrt{2}$x．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

15．與雙曲線x2-y2=1有相同漸近線且過（$\sqrt{3}$，1）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　　）
A．$\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$B．$\frac{{y}^{2}}{2}-\frac{{x}^{2}}{2}=1$C．$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$D．$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{4}=1$

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

12．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)是F（-c，0），斜率為2的直線l過點(diǎn)P并與兩條漸近線交于A，B兩點(diǎn)（A，B位于x軸同側(cè)），且S△BOF=4S△AOF，則雙曲線的離心率是（　�。�
A．$\frac{\sqrt{109}}{3}$B．$\frac{10}{3}$C．3D．$\frac{4}{3}$

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

13．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線的斜率為2，且右焦點(diǎn)與拋物線y2=4$\sqrt{5}$x的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的離心率等于（　�。�
A．$\sqrt{2}$B．$\sqrt{5}$C．2D．2$\sqrt{5}$

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案