Question

18．已知定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（-$\frac{3}{4}$，0）對稱，且滿足f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}}$），又f（-1）=1，f（0）=-2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）=（　　）

• A． 669
• B． 670
• C． 2008
• D． 1

Answer 1

分析 首先由函數(shù)且滿足f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}}$），又f（-1）=1，f（0）=-2，可以分析得f（x）=f（x+3）即可求出f（2）和f（3）．又函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（-$\frac{3}{4}$，0）對稱，又可推出f（-1）=f（1），綜合考慮幾個周期關(guān)系條件即可得到f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）的值．

解答 解：因為滿足f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}}$），則f（x）=f（x+3）
又f（-1）=1，f（0）=-2，則f（-1）=f（-1+3）=f（2），又f（0）=f（0+3）=f（3）．
又函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（-$\frac{3}{4}$，0）對稱，
f（-1）=-f（-$\frac{1}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$）=f（1，
所以f（1）+f（2）+f（3）=0．
又f（1+3）=f（4），f（2+3）=f（5），f（3+3）=f（6）…
又2008=669×3+1．
所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）=f（1）=f（-1）=1
故選：D

點評 此題主要考查函數(shù)的周期性問題，其中應用到函數(shù)關(guān)于點對稱的性質(zhì)，對于函數(shù)周期性這個考點考查的時候多和奇偶性，對稱性問題綜合考慮，技巧性較強．