Question

20．雙曲線E：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1的左、右頂點分別為A₁、A₂，點P是線段OA₂的中垂線與雙曲線E的漸近線的交點（O為雙曲線中心），若PA₁⊥PA₂，則雙曲線E的離心率e=2．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，求出P點坐標，得到PA₁、PA₂所在直線斜率，由PA₁⊥PA₂，利用斜率之積等于-1求得答案．

解答 解：如圖，
不妨取漸近線為y=$\frac{a}x$，由x=$\frac{a}{2}$，得y=$\frac{2}$．
∴P（$\frac{a}{2}，\frac{2}$），
∵A₁（-a，0），A₂（a，0），
∴${k}_{P{A}_{1}}=\frac{\frac{2}}{\frac{3}{2}a}=\frac{3a}，{k}_{P{A}_{2}}=\frac{\frac{2}}{-\frac{a}{2}}=-\frac{a}$，
∵PA₁⊥PA₂，
∴$\frac{3a}•（-\frac{a}）=-1$，即3a²=b²=c²-a²，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=4$，得$e=\frac{c}{a}=2$．
故答案為：2．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法及數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．