Question

15．已知函數(shù)f（x）=sinx+acosx的圖象的一條對稱軸是x=$\frac{5π}{3}$．
（Ⅰ）求出a的值；
（Ⅱ）若g（x）=asinx+cosx，求出函數(shù)g（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知函數(shù)f（x）的一條對稱軸是$x=\frac{5π}{3}$，可得$f（0）=f（\frac{10π}{3}）$，利用特殊角的三角函數(shù)值即可計算得解a的值．
（Ⅱ）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得$g（x）=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinx+cosx=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}cos（x+\frac{π}{6}）$，由$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$，可求x+$\frac{π}{6}$∈[0，$\frac{π}{2}$]，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解．

解答 解：（Ⅰ）因為函數(shù)f（x）=sinx+acosx的圖象的一條對稱軸是$x=\frac{5π}{3}$，
所以$f（0）=f（\frac{10π}{3}）$，
所以$a=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}-\frac{a}{2}$，
所以$a=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（Ⅱ）$g（x）=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinx+cosx=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}cos（x+\frac{π}{6}）$，
因為$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$，
所以 x+$\frac{π}{6}$∈[0，$\frac{π}{2}$]．g（x）的最大值為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，g（x）的最小值為0．

點評 本題考查三角函數(shù)的對稱性，考查三角函數(shù)的化簡，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．