Question

7．若關(guān)于x的不等式x²-2mx+1＞0在[$\frac{1}{2}$，2）內(nèi)恒成立，則m的取值范圍（-∞，1）．

Answer 1

分析 問題轉(zhuǎn)化為：m＜$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2x}$在x∈[$\frac{1}{2}$，2）內(nèi)恒成立，令f（x）=$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2x}$，求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，得到f（x）的最小值，從而求出m的范圍即可．

解答 解：若關(guān)于x的不等式x²-2mx+1＞0在[$\frac{1}{2}$，2）內(nèi)恒成立，
只需m＜$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2x}$在x∈[$\frac{1}{2}$，2）內(nèi)恒成立，
令f（x）=$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2x}$，則f′（x）=$\frac{{x}^{2}-1}{{2x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：1＜x＜2，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2}$≤x＜1，
∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，1）遞減，在（1，2）遞增，
∴f（x）_min=f（1）=1，
∴m＜1，
故答案為：（-∞，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，是一道中檔題．