Question

已知f（x）=

2x-a

x2+2

（x∈R）在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，實數(shù)a組成集合A，設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=

1

x

的兩個非零實根x₁，x₂，實數(shù)m使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|使得對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，則m的解集是（　�。�

• A、（-∞，-2]∪[2，+∞）
• B、（-∞，2.5）∪（2.5，+∞）
• C、（-2.5，2.5）
• D、（-2，2）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)遞增導(dǎo)數(shù)大于等于零列出不等式，求出集合A，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系寫出不等式先看成關(guān)于a的不等式恒成立再看成關(guān)于t的一次不等式恒成立，讓兩端點(diǎn)大等于零，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=

4+2ax-2x2

(x2+2)2

=

-2(x2-ax-2)

(x2+2)2

，
∵f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，
∴f′（x）≥0對x∈[-1，1]恒成立，
即x²-ax-2≤0對x∈[-1，1]恒成立．①
設(shè)g（x）=x²-ax-2，
則

g(1)=1-a-2≤2 g(-1)=1+a-2≤0

?-1≤a≤1，
∵對x∈[-1，1]，f（x）是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1時，f′（-1）=0以及當(dāng)a=-1時，f′（1）=0
∴A={a|-1≤a≤1}．
（Ⅱ）由f（x）=

1

x

得

2x-a

x2+2

=

1

x

，得x²-ax-2=0，
∵△=a²+8＞0
∴x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的兩非零實根，x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，
從而|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

a2+8

．
∵-1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=

a2+8

≤3．
要使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)m²+tm+1≥3對任意t∈[-1，1]恒成立，
即m²+tm-2≥0對任意t∈[-1，1]恒成立．②
設(shè)m（t）=m²+tm-2=mt+（m²-2），
方法一：
②?m（-1）=m²-m-2≥0，m（1）=m²+m-2≥0，
?m≥2或m≤-2．
所以，存在實數(shù)m，使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤-2}．
方法二：
當(dāng)m=0時，②顯然不成立；
當(dāng)m≠0時，
②?m＞0，g（-1）=m²-m-2≥0或m＜0，g（1）=m²+m-2≥0
?m≥2或m≤-2．
所以，存在實數(shù)m，使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|對任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范圍是{m|m≥2，或m≤-2}．
故選：A

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和不等式等有關(guān)知識，考查數(shù)形結(jié)合及分類討論思想和靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力．綜合性較強(qiáng)，難度較大．