Question

20．設M是橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1上的一點，F(xiàn)₁、F₂為焦點，∠F₁MF₂=$\frac{π}{6}$，則△MF₁F₂的面積為16（2-$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 先根據(jù)橢圓的標準方程，求得半焦距c，進而根據(jù)橢圓的定義求得|MF₁|+|MF₂|的值，進而利用余弦定理求得|MF₁|和|MF₂|的關系式，聯(lián)立方程求得|MF₁|•|MF₂|，最后根據(jù)三角形面積公式求得三角形的面積．

解答 解：由橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，得a=5，b=4，c=3．
根據(jù)橢圓定義，有|MF₁|+|MF₂|=2a=10．
在△F₁MF₂中，由余弦定理，得到
|F₁F₂|²=|MF₁|²+|MF₂|²-2|MF₁|•|MF₂|•cos∠F₁MF₂．
即36=|MF₁|²+|MF₂|²-2|MF₁|•|MF₂|•cos$\frac{π}{6}$，
36=|MF₁|²+|MF₂|²-$\sqrt{3}$|MF₁|•|MF₂|
=（|MF₁|+|MF₂|）²-（2+$\sqrt{3}$）|MF₁|•|MF₂|=10²-（2+$\sqrt{3}$）|MF₁|•|MF₂|，
解得|MF₁|•|MF₂|=64（2-$\sqrt{3}$）．
△F₁MF₂的面積為：S=$\frac{1}{2}$|MF₁|•|MF₂|sin∠F₁MF₂
=$\frac{1}{2}$×64（2-$\sqrt{3}$）×sin$\frac{π}{6}$=16（2-$\sqrt{3}$）．
故答案為：16（2-$\sqrt{3}$）．

點評 本題主要考查了橢圓的應用．特別是利用橢圓的定義解決橢圓的實際問題，同時考查解三角形的余弦定理和面積公式的運用，屬于中檔題．