Question

設(shè)x、y為實(shí)數(shù)，集合A={（x，y）|y²-x-1=0}，B={（x，y）|16x²+8x-2y+5=0}，C={（x，y）|y=kx+b}，問(wèn)是否存在自然數(shù)k，b使（A∪B）∩C=∅？

Answer 1

考點(diǎn)：集合關(guān)系中的參數(shù)取值問(wèn)題,交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算

專(zhuān)題：集合

分析：將（A∪B）∩C轉(zhuǎn)化為（A∩C）∪（B∩C）=φ，即有A∩C=φ且B∩C=φ．轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)的方程組無(wú)解的條件．

解答： 解：若（A∪B）∩C=∅，則（A∩C）∪（B∩C）=φ，即有A∩C=φ且B∩C=φ．
即方程組

y2-x-1=0 y=kx+b

 ①與

16x2+8x-2y+5=0 y=kx+b

 ②都無(wú)解，
由①得k²x²+（2kb-1）x+b²-1=0，
若k=0，則方程為x=1-b²，有解，不滿(mǎn)足條件，
若k≠0，則判別式△=（2kb-1）²-4k²（b²-1）＜0，
即1-4kb+4k²＜0，
∴b＞

1+4k2

4k

，
∵k，b是自然數(shù)，∴b＞1，
由②得16x²+8x-2（kx+b）+5=0，
即16x²+（8-2k）x+5-2b=0，
判別式△=（8-2k）²-4×16（5-2b）＜0，
即k²-8k+32b-64＜0，
即b＜

-k2+8k+64

32

=

-(k-4)2+80

32

≤

80

32

=

5

2

，
∵b是自然數(shù)，
∴b=2，此時(shí)k=1，
故存在b=2，k=1使得使（A∪B）∩C=∅．

點(diǎn)評(píng)：本題考查集合間的基本關(guān)系及運(yùn)算．方程解的情況判斷．本題轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)的方程組無(wú)解的條件是關(guān)鍵．