Question

18．如圖，在四棱錐A-EFCB中，△AEF為等邊三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2，∠EBC=∠FCB=60°，O為EF的中點(diǎn)．
（1）求證：AO⊥BE．
（2）求二面角C-AE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由△AEF為等邊三角形，O為EF的中點(diǎn)，可得AO⊥EF，再由面面垂直的性質(zhì)可得AO⊥平面EFCB，則AO⊥BE；
（2）取BC的中點(diǎn)G，連接OG，可得OG⊥EF，由（1）OA⊥OG，建立如圖的空間坐標(biāo)系，分別求出平面EAC與平面EAB的一個法向量，利用兩法向量所成角的余弦值可得二面角C-AE-B的余弦值．

解答 （1）證明：∵△AEF為等邊三角形，O為EF的中點(diǎn)，
∴AO⊥EF，
∵平面AEF⊥平面EFCB，AO?平面AEF，
∴AO⊥平面EFCB
∴AO⊥BE；
（2）解：取BC的中點(diǎn)G，連接OG，
∵EFCB是等腰梯形，
∴OG⊥EF，
由（1）知AO⊥平面EFCB，
∵OG?平面EFCB，∴OA⊥OG，
建立如圖的空間坐標(biāo)系，
則OE=1，BG=2，GH=1，BH=1，EH=BHtan60°=$\sqrt{3}$，
則E（1，0，0），A（0，0，$\sqrt{3}$），B（2，$\sqrt{3}$，0），C（-2，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{EA}=（-1，0，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{EC}=（-3，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{EB}=（1，\sqrt{3}，0）$．
設(shè)平面EAC的一個法向量為$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EA}=-{x}_{1}+\sqrt{3}{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EC}=-3{x}_{1}+\sqrt{3}{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，令z₁=1，則$\overrightarrow{m}=（\sqrt{3}，3，1）$；
設(shè)平面EAB的一個法向量為$\overrightarrow{n}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EA}=-{x}_{2}+\sqrt{3}{z}_{2}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}={x}_{2}+\sqrt{3}{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，令${x}_{2}=\sqrt{3}$，則$\overrightarrow{n}=（\sqrt{3}，-1，1）$．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{13}×\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{65}}{65}$．
∴二面角C-AE-B的余弦值為$\frac{\sqrt{65}}{65}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解二面角的平面角，是中檔題．