證明4n≥n4（n為大于3的正整數(shù)）．將4換成其他更大的數(shù)試試，說說有什么規(guī)律．（禁用數(shù)學歸納法）
考點：不等式的證明
專題：證明題,導數(shù)的綜合應用
分析：設y=
lnx
x
，求出導數(shù)，求出單調區(qū)間，則當x≥4且為整數(shù)時，有
lnx
x
≤
ln4
4
，化簡整理，即可得證；將4換成其他更大的數(shù)，比如m，則mn≥nm（n≥m且n∈N）．
解答： 證明：設y=
lnx
x
，則y′=
1-lnx
x2

當x＞e時，y′＜0，y為減函數(shù)，當0＜x＜e時，y′＞0，y為增函數(shù)．
則當x≥4且為整數(shù)時，有
lnx
x
≤
ln4
4
，
即有4lnx≤xln4，即lnx4≤ln4x，
即有4x≥x4，
故有4n≥n4（n為大于3的正整數(shù)）．
將4換成其他更大的數(shù)，比如m，則mn≥nm（n≥m且n∈N）．
點評：本題考查不等式的證明，考查導數(shù)的運用：判斷函數(shù)的單調性，考查單調性的應用，以及對數(shù)函數(shù)的單調性，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

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已知二次函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+2]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如果f（tanx）=sin2x-5sinxcosx，那么f（2）=
 
．

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函數(shù)f（x）定義域為[0，3]，導函數(shù)f′（x）在[0，3]內圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）在[0，3]的單調遞減區(qū)間為（　　）
A、[0，1]
B、[1，2]
C、[2，3]
D、[0，2]

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若a＞1，則函數(shù)y=ax與y=（a-1）x2的圖象可能是下列四個選項中的（　　）
A、
B、
C、
D、

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已知有公共焦點的橢圓與雙曲線的中心都為原點，焦點在x軸上，左右焦點分別F1F2，且它們在第一象限的交點P，△PF1F2是PF1為底邊的等腰三角形，|PF1|=12，橢圓的離心率的取值范圍為（
2
5
，
4
9
），則雙曲線離心率的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知在等比數(shù)列{an}中，f（-x）=-f（x），且x∈R是f（x）和x1，x2∈（-∞，+∞）且x1＜x2的等差中項．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若數(shù)列{bn}滿足bn=2n-1+an（n∈N*），求{bn}的前n項和Sn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓心在第一象限的圓C與y軸相切，并且與直線4x-3y-36=0相切與A（9，0）．
（1）求圓C的方程；
（2）設B為圓C上的一個動點，求弦AB中點M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某經營者在一個袋子里放3種不同顏色的小球．每種顏色的球都是3個，然后讓玩的人從中一次性摸出5個球并規(guī)定如果摸出來的小球的顏色是“221”（即有2種顏色的球各為2個，另一種顏色的球為1個），則玩者要交錢5元；如果摸出來的顏色是“311”，則獎給玩者2元；如果摸出來的顏色是“320”則獎給玩者10元．
（1）求玩者要交錢的概率；
（2）求經營者在一次游戲中獲利的期望（保留到0.01元）．

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