Question

證明4ⁿ≥n⁴（n為大于3的正整數(shù)）．將4換成其他更大的數(shù)試試，說(shuō)說(shuō)有什么規(guī)律．（禁用數(shù)學(xué)歸納法）

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：設(shè)y=

lnx

x

，求出導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，則當(dāng)x≥4且為整數(shù)時(shí)，有

lnx

x

≤

ln4

4

，化簡(jiǎn)整理，即可得證；將4換成其他更大的數(shù)，比如m，則mⁿ≥n^m（n≥m且n∈N）．

解答： 證明：設(shè)y=

lnx

x

，則y′=

1-lnx

x2

當(dāng)x＞e時(shí)，y′＜0，y為減函數(shù)，當(dāng)0＜x＜e時(shí)，y′＞0，y為增函數(shù)．
則當(dāng)x≥4且為整數(shù)時(shí)，有

lnx

x

≤

ln4

4

，
即有4lnx≤xln4，即lnx⁴≤ln4^x，
即有4^x≥x⁴，
故有4ⁿ≥n⁴（n為大于3的正整數(shù)）．
將4換成其他更大的數(shù)，比如m，則mⁿ≥n^m（n≥m且n∈N）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查單調(diào)性的應(yīng)用，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．