Question

4．如圖，正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為3，在面對角線A₁D上取點M，在面對角線C₁D上取點N，使得MN∥平面AA₁C₁C，當(dāng)線段MN長度取到最小值時，三棱錐A₁-MND₁的體積為1．

Answer 1

分析 MN長度最小值，做平面A₁BD和CB₁D₁，對角線平行，故平面A₁BD∥平面CB₁D₁．要使MN長度取到最小值，即最小值為兩平面之間的距離，確定M，N的位置，根據(jù)相似A₁-MND₁求邊長，即可求解三棱錐A₁-MND₁的體積．

解答 解：如圖：MN長度最小值，做平面A₁BD和CB₁D₁，對角線平行，故平面A₁BD∥平面CB₁D₁．

∴動點M，N，要使MN長度取到最小值，即最小值為兩平面之間的距離，且MN∥平面AA₁C₁C，
易證AC₁⊥面A1BD，AC₁⊥面A₁BDC，AC₁與兩平面分布交于P₁Q₁，又∵在A₁C₁P₁中，PQ₁為中線，
∴P₁Q₁=AP₁
所以：P₁Q₁=$\frac{1}{3}$AC₁
P₁Q₁∥平面AA₁C₁C，故而MN∥平面AA₁C₁C，
又∵P₁Q₁=$\frac{1}{3}$AC₁，可知M，N在A₁D，CD₁的長度的$\frac{1}{3}$處．
那么：${S}_{△{A}_{1}}M{D}_{1}=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}{A}_{1}D×\frac{1}{2}A{D}_{1}$=3．
N在DD₁的長度為$\frac{1}{3}$CD．
∴三棱錐A₁-MND₁的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{{A}_{1}M{D}_{1}}×\frac{1}{3}CD=1$

點評 本題考察了動點的變化，兩點直線的動點問題，可以轉(zhuǎn)化為平面的之間的最短距離來考慮．由相似比例求其位置，在求其體積．屬于難題．