Question

11．指數(shù)函數(shù)y=a^x和對數(shù)函數(shù)y=log_ax（其中a＞0，a≠1）的圖象分別為C₁和C₂，點M在曲線C₁上，線段OM（O為坐標原點）交曲線C₁于另一點N，若曲線C₂上存在一點P，滿足點P的橫坐標與點M的縱坐標相等，點P的縱坐標是點N橫坐標的兩倍，則點P的坐標為（4，log_a4）．

Answer 1

分析 由指數(shù)函數(shù)y=a^x和對數(shù)函數(shù)y=log_ax可知底數(shù)都是a，單調(diào)性相同，互為反函數(shù)，利用斜率相等建立關系式，即可得到答案．設P（t，log_at），可設M（α，t），N（$\frac{1}{2}$log_at，β），根據(jù)曲線C₁、C₂的表達式，解出t=log_at，β=$\sqrt{t}$，得出M、N坐標關于a、t的表達形式，最后根據(jù)M、N、O三點共線，利用斜率相等建立關系式可得出t=4，從而得出點P的坐標．

解答 解：設P（t，log_at），可設M（α，t），N（$\frac{1}{2}$log_at，β），
在指數(shù)函數(shù)y=a^x的圖象上，∴有t=a^α且.$β={a}^{\frac{1}{2}lo{g}_{a}t}$，解出t=log_at，β=$\sqrt{t}$，
由此可得M（log_at，t），N（$\frac{1}{2}$log_at，$\sqrt{t}$），
∵根據(jù)M、N、O三點共線，斜率相等建立關系式
∴k_OM=K_ON ⇒$\frac{t}{lo{g}_{a}t}=\frac{\sqrt{t}}{\frac{1}{2}lo{g}_{a}t}$    解得：t=4，
∴P的坐標為：（4，log_a4）．
故答案為：（4，log_a4）．

點評 本題給出指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象上點坐標之間的關系，求其中一個點的坐標，著重考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)、指數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用等知識，屬于中檔題．